Podobne
 
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

kwantyfikator. Bez tych środków ostrożności może się zda-
rzyć, że ze zdania prawdziwego otrzymamy fałszywe. Na
przykład, wyrażenie
"y(y jest dziadkiem x)
4. System założeniowy SB 113
jest prawdÄ… w odniesieniu do zbioru ludzi, bo w tym
zbiorze istnieje przynajmniej jeden element taki, że gdy
jego imiÄ™ podstawimy za zmiennÄ…  x , to powstanie zda-
nie prawdziwe. Jeśli opuszczając kwantyfikator w tej for-
mule zastąpiłoby się  y przez  x , powstałoby zdanie  x
jest dziadkiem x , które jest fałszywe, skoro nie ma osoby
będącej swoim dziadkiem.
Będziemy mieli do dyspozycji następujące reguły doty-
czące kwantyfikatorów.
"xÆ(x)
[-"]
Æ(a)
Æ(x)
[+"]
"xÆ(x)
Drugą z tych reguł stosujemy bezpiecznie do formuł zda-
niowych będących tezami jakiegoś systemu. Na przykład,
pierwszy aksjomat teorii identyczności, mający postać  x =
x , przechodzi w zdanie  "x(x = x) . W przypadku innego
rodzaju formuł, reguła przybiera postać bardziej złożoną
(zob. Borkowski [1970] i [1972]).
Æ(a)
[+"]
"xÆ(x)
"xÆ(x)
[-"]
Æ(a)
Przy stosowaniu tej ostatniej reguły musimy prze-
strzegać następującego warunku: za każdym razem, gdy
w toku dowodzenia opuszczamy kwantyfikator egzysten-
cjalny, to wprowadzamy nową stałą indywiduową, która po-
winna się różnić od wszystkich tego rodzaju stałych uprzed-
nio wprowadzonych do dowodu za pomocą tej reguły.
Niechaj wyjaśni to zastrzeżenie następujący przykład.
Przypuśćmy, że w jakiejś teorii lub w narracji, odnoszącej
114 V. Logika predykatów jako narzędzie wnioskowania dedukcyjnego
się do określonego zbioru ludzi, stwierdza się istnienie osób
będących finansistami (np. dyrektorami banków), w skrócie
F, oraz osób będących socjalistami (np. w sensie opo-
wiadania się za totalną kontrolą gospodarki przez państwo
w imię racji społecznych), w skrócie S. W celu wykaza-
nia jakiejÅ› tezy, wprowadzamy postacie reprezentujÄ…ce obie
klasy, którym nadajemy umowne imiona (pełni taką rolę np.
słowo  Kowalski jako nazwisko dowolnego Polaka). Jeśli
w roli takiego imienia posłużymy się za każdym razem tym
samym symbolem, powiedzmy  a , to z twierdzenia  "xF x
otrzymamy  F a i z twierdzenia  "xSx otrzymamy  Sa . Z
tych dwóch wniosków wynika dalej, że istnieje ktoś będący
zarazem finansistą i socjalistą (zob. niżej, przykład P.1
w odc. 4.3). Takie twierdzenie wymagałoby uzasadnienia
przez powołanie się na odpowiednie fakty, nie może ono
pojawić się wyłącznie w wyniku manipulacji literami. Stąd
zakaz wprowadzania więcej niż raz tej samej stałej indywi-
duowej przy opuszczaniu kwantyfikatora egzystencjalnego.
4.3. Przykłady dowodzenia wprost. Oto przykład do-
wodu, będący zarazem kontynuacją komentarza z końca po-
przedniego odcinka.
P.1 P a&Qa Ò! "x(P x&Qx)
Założenia dowodu
1 P a
2 Qa
Wnioski z założeń
3 P a&Qa [+&]: 1, 2
"x(P x&Qx) [+"]: 3
Ten prosty przykład dobrze się nadaje do zilustrowania me-
tody dowodzenia założeniowego (wspomnianej wstępnie w
odc. 4.1 tego rozdziału).
4. System założeniowy SB 115
Zdanie dowodzone ma postać implikacji. Jest zatem
wtedy prawdziwe, gdy nie jest tak, że ma prawdziwy
poprzednik i fałszywy następnik. Kiedy potraktujemy
następnik jako układ przesłanek i uda się wywnioskować
zeń następnik za pomocą odpowiednich reguł, świadczy to,
że nie może on być fałszywy przy prawdziwym następniku;
nie może, ponieważ reguły wnioskowania są tak dobrane,
by gwarantowały prawdziwość wniosku (tu pokrywającego
się z następnikiem) przy prawdziwości przesłanek (pokry-
wajÄ…cych siÄ™ z poprzednikiem).
Przesłanki nazywają się w takim dowodzie założeniami,
ponieważ w treści słowa  przesłanka zawiera się uznanie
za prawdę w sposób kategoryczny, podczas gdy treść słowa
 założenie dopuszcza uznawanie w sposób hipotetyczny.
Dowód nazywa się założeniowym, gdy uznawanie zdań po-
krywajÄ…cych siÄ™ z poprzednikiem jest w nim hipotetyczne,
czyli warunkowe, co znaczy, że badamy, co by wolno na
podstawie tych zdań uznać za prawdę, przy założeniu, że
sÄ… one prawdziwe. Czy sÄ… naprawdÄ™, nie musimy tego
dla celów dowodu rozstrzygać, bo interesuje nas tylko ów
związek: że o ile są prawdziwe, to takie to a takie inne
zdanie jest również prawdziwe. Dzięki stwierdzeniu tego
związku mamy podstawę do uznania prawdziwości odpo-
wiedniej implikacji (nie przesÄ…dzajÄ…c, czy prawdziwy jest
jej następnik potraktowany w dowodzie jako przesłanka).
Po wypisaniu założeń przystępujemy do wyprowadza-
nia z nich konsekwencji za pomocą reguł wnioskowania.
Reguła użyta w celu uzyskania wniosku zapisanego w da-
nym wierszu jest wymieniona na końcu wiersza wraz ze
wskazaniem wcześniejszych formuł, do których ją zastoso-
wano, by otrzymać dany wniosek. By móc powoływać się
na wcześniejsze formuły bez ich cytowania, numeruje się
wiersze dowodu, a odniesienia do formuł czyni się za po-
mocą tych numerów. Ostatni wiersz nie jest numerowany, [ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • karro31.pev.pl
    •  
    Copyright © 2006 MySite. Designed by Web Page Templates